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• 1、步步为营 招招入胜——例谈思维力在专题研究中的提撕
• 2、“数学英雄”欧拉的天才之作—欧拉公式，为啥被称为宇宙第一公式？
• 3、6年级数学确定位置怎么用量角器量
• 4、计算器对运算能力的影响
• 5、数学课堂上怎样激发学生的学习兴趣
• 6、计算机出现之前，有哪些神奇的计算工具？

步步为营 招招入胜——例谈思维力在专题研究中的提撕

北师大版四年级上册36页有一道数学游戏题。这道数学游戏题是安排在学习了《神奇的计算工具》之后的练习题。其中第二问是问号题，即拓展练习题。

拓展练习，在“练一练”题目比例中占1/10。是基本练习、变式练习、拓展练习三个层次当中的最高层次。拓展练习编写意图是，力求体现对于重要内容的进一步理解，发展数学思考和解决问题的能力。拓展练习的完成，需要用到丰富的数学素养，更能促进数学素养的进一步提高与发展。

为了有序、有效促进孩子们思维力的发展，体现生命数学的魅力，不妨将这一道数学游戏题进行扩充，设计成专题研究课，可以用来引领初中生孩子们进行一场数学素养养成的练兵之旅，在专题研究中提撕思维力，体验探求“秘诀”的乐趣，感受数学建模思想带来的快慰，颖悟数学中蕴含的人生哲理。

一、由简到繁，逻辑推理步步为营

通过以下例题引发孩子有序思考，体验由简到繁的过程，形成步步为营的推理习惯。

题一：用3，4，5这三个数字，任意组成一个一位数和一个两位数，求出它们的积，积大者获胜。

孩子们用不了些许时间，很快能够得出正确的答案，积是最大者的算式为：5×43=215。

题二：用2，3，4，5这四个数字，任意组成两个两位数，求出它们的积，积大者获胜。

同学能够把眼光集中在53×42或者是52×43这两个算式上。因为孩子们已经具备“用若干个数字写出最大的数”既有体验，会不自觉地运用。通过计算可以得到，52×43=2236，是乘积最大的算式。

题三：用1，2，3，4，5这五个数字，任意组成一个两位数和一个三位数，求出它们的积，积大者获胜。

孩子们有了前面两题做铺垫，对乘积最大的获得，有了思维上的准备。在这一基础上引领孩子们对比题三与题二的不同。从而让孩子们感悟到。其实题三就是在题二的基础上把新增加的数字“1”，添加在52后面还是添加在43后面的问题了。于是得出如下算式：

521×43=22403，

52×431=22412。

从而轻而易举获得52×431=22412是乘积最大的算式。

从三道题的表面来看，遵循的是从简到繁的一个过程，然而由于逻辑推理的有序、渐进、到位，步步为营，让孩子们充分经历了思维的推进，在推理过程中获得了感悟。让孩子们在数学素养上得到了较好的训练。

二、从数及字，数学抽象掷地有声

数学语言是世界上最智慧的语言。用字母表示数，是学生在思维上一个质的飞跃。字母表示数，具有强烈的符号意识。符号意识是学生数学抽象的重要表现，可以表达现实生活中蕴含的更为普遍，更为一般的数学原理、数学本质、数学之美。

于是我们将前文提到的1、2、3、4、5，按照从大到小的顺序5、4、3、2、1，依次用字母a、b、c、d、e来表示。用字母表示数，每个字母所代表的原数的大小已经没有了实质性的意义，保留下来的，是他们彼此之间的大小关系。即abcde。

这时我们可以利用字母表示这些数来二次研究上述的问题。

题一：已知9≥abc≥1，用a，b，c这三个数字，怎样组成一个一位数和一个两位数，使得乘积最大。

经过操作，不难发现只有两种组合成为我们关注的重点。即a，c组成两位数与b的乘积及b，c组成的两位数与a的乘积。为了探寻这两种组合，哪一种组合乘积最大？可以循序渐进引入作差法比较数的大小。

例如：因为53，所以5-30，用字母表示为：如果ab，那么a-b0。反之，如果a-b0，那么ab。

a，c组成的两位数可以表示为10a+c，同理b，c组成的两位数可以表示为10b+c。于是，我们可以引导学生列出以下算式并进行计算：

(10b+c)×a－(10a+c)×b

=10ab+ac-10ab-bc

=ac-bc

=(a-b)c

0

所以b，c组成的两位数与a的乘积(10b+c)×a是最大的。即bc×a最大(bc表示一个两位数)。

题二：已知9≥abcd≥1，用a，b，c，d这四个数字，怎样组成两个两位数，使得乘积最大。

在前面题目的基础上，可以聚焦的组合应该有两种。列式为：(10a+c)×(10b+d)与(10a+d)×(10b+c)。可以引导学生计算：

(10a+d)×(10b+c)-(10a+c)×(10b+d)

=100ab+10ac+10bd+cd-100ab-10ad-10bc-cd

=10a(c-d)+10b(d-c)

=10(c-d)(a-b)

0

因此乘积最大的组合为：

(10a+d)×(10b+c)，即：ad×bc (ad,bc均表示一个两位数)。

题三：已知9≥abcdef≥1，用a，b，c，d，e，f这六个数字，怎样组成两个三位数，使得乘积最大。

在题二的基础上，可以聚焦的组合应该有两种。列式为：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)与(100a+10d+e)×(100b+10c+f)。可以引导学生计算：

(100a+10d+f)×(100b+10c+e)-(100a+10d+e)×(100b+10c+f)

=10000ab+1000ac+100ae+1000bd+100cd+10de+100bf+10cf+ef-10000ab-1000ac-100af-1000bd-100cd-10df-100be-10ce-ef

=100a(e-f)+10d(e-f)+100b(f-e)+10c(f-e)

=100(a-b)(e-f)+10(d-c)(e-f)

=10(e-f)[10(a-b)+(d-c)]

0

因此乘积最大的组合为：(100a+10d+f)×(100b+10c+e)，即：adf×bce(adf与bce均为一个三位数)。

三、举一反三，建模思想登峰造极

为了表达方便，回过头来我们用6、5、4、3、2、1代表a、b、c、d、e、f。

用三个数字组成一个一位数和一个两位数，使得乘积最大的时候我们发现结果是：6×54；

用四个数字组成两个两位数，使得乘积最大时，结果是：63×54；

用五个数字组成一个两位数和一个三位数，使得乘积最大时，结果是：63×542；

用六个数字组成两个三位数，使得乘积最大时，结果是：631×542。

通过以上例子可以引导孩子们仔细观察与积极思考，找出其中的规律：

1.将数字从到大小依次使用；

2.每新增一个数字，需要判断原有的两个数谁大谁小。把新增的数字添在原数中较小的数的末尾，组成一个多一位的数。

其实这就是解决这一问题的一个极简模型。从大到小依次添加，每次将新添加的数添在较小数的末尾即可解决问题。

其中也蕴含了深刻的人生哲学。要获得乘积最大也就是要获得最优解，添加数字做选择时需要舍大取小。“随小”是为了最终的取“最大”。犹如每次暂时后退是为了便于助力冲刺越过前面的鸿沟。

那么如何来验证这一模型的正确性呢？我们用A、B代表原先的两个数，并且A大于B。现在增加一个数n。把n添在A的末尾还是B的末尾，能使它们的乘积更大呢？

依据前文得出的模型，应该是添在B的末尾乘积会更大。于是根据作差法列式推理如下：

(10B+n)×A-(10A+n)×B

=10AB+An-10AB-Bn

=(A-B)×n

0

通过用字母代表具体的数进行推理认证，这样结论更具有一般性与普适性。同时也说明，我们通过具体分析，逐渐得出的解决问题的模型是正确的，具有推广的价值与意义。

如果学生感兴趣的话，我们这个模型还可以进一步推广。我们前面所讨论的前提是十进制的数。还可以把十进推广为十六进制甚至n进制。如果是十六进制的话，我们就需要16个字符，表示从0到15。例如我们可以采用这些字符，0123456789ABCDEF，其中A代表10，F代表15。当然组成的数的数位也不再叫个位，十位和百位了。而应该是16º位，16¹位，16²位，16³位，以此类推。同理，如果是n进制的话，那我们就需要n个字符，表示从0到n-1。数位从右起，分别是nº位，n¹位，n²位，n³位……

学生们都知道，四边形是由四条线段首尾依次连接而围成的封闭图形。在四边形四条边上各取中点，将四个中点依次连接，围成的新的四边形，我们可以称之为中点四边形。

探究四边形的中点四边形，一般从正方形开始的。学生通过操作可以发现正方形的中点四边形仍然是正方形。只是方向发生偏转，并且面积是原来正方形面积的一半。

接着便可探究长方形的中点四边形。通过操作可以发现长方形的中点四边形是菱形。菱形再内接中点四边形又是长方形。每次中点四边形是上级四边形面积的一半。

平行四边形内接中点四边形是是一个新的平行四边形。并且面积也是原平行四边形面积的一半。新平行四边形再内接中点四边形仍然是平行四边形，面积是上级平行四边形的1/2，是最上阶平行四边形面积的1/4。方向与最上阶平行四边形一致。

等腰梯形的内接中点四边形是菱形。普通梯形的内接中点四边形是平行四边形。

至此，我们可以发现，无论是正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形中点四边形都是平行四边形。当然学生也知道正方形、长方形和菱形都是特殊的平行四边形。正因为正方形、长方形、菱形是特殊的平行四边形，于是更有益于学生观察、想象，更能够体会从特殊到一般的逻辑推理思维与思考辨析途径。

在学生确认平行四边形和梯形的内接中点四边形一定是平行四边形基础上，引导学生发问，提出问题：普通四边形内接中点四边形是一个什么样的图形呢？通过动手操作、探究，进一步体验探寻新的发现。

通过作图实践、认真观察，可以发现任意四边形的内接中点四边形都是平行四边形。那么如何让学生理解中点四边形一定就是平行四边形呢。

在此处引入三角形中位线的理解。在三角形的两条边上各取中点，相连得到的一条线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线具有什么性质呢？我们可以通过利用添加了一条中位线的两个完全一样的三角形，其中一个倒置组合成一个平行四边形。通过观察不难发现，两个拼接在一起的三角形的两条中位线刚好在同一条直线上。并且与上下底边互相平行且相等。于是我们从感观上就可以获得认识，三角形的中位线平行于底边并且等于底边的一半。

在确认三角形的中位线平行并等于底边的一半之后。回到普通四边形内接中点四边形图形当中，此时我们添加一条原四边形的对角线。然后隐去下半部分，观察上半部分我们可以发现：上半部分三角形当中两边中点的连线，其实就是三角形的中位线。所以这条中位线，它会与刚刚添加的原四边形的对角线平行，并且等于这条对角线的一半。同理，隐去上半部分只观察下半部分剩下的三角形。同样可以发现下面也是一个三角形。三角形的中位线也会等于对角线的一半，并且与之平行。这样一来，把上下放在一起就可以轻而易举地发现，上面一条中位线和下面一条中位线，它们是互相平行的，并且也是相等的。而这两条中位线就是原四边形内接中点四边形的上下两条边。同理可得，内接中点四边形左右两条边也是互相平行并且相等的。这样我们就可以确认中点四边形是一个平行四边形了。

平行四边形、梯形、任意四边形，它们的内接四边形都是平行四边形。从这个角度来说，平行四边形就是四边形的一种归属。这时我们可以引导孩子进一步向下走。像这种平行四边形、梯形、任意四边形，我们称之为凸四边形。

凸四边形就是没有角度数大于180° 的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

凸四边形内接中点四边形是平行四边形，那么与之对应的凹四边形会怎么样呢？

于是出示凹四边形，并让学生进行操作，找出四条边的中点，把四个中点连接得到新的四边形。同学们可以发现在这个新的四边形当中，其中有一条边在原四边形的外侧。新的四边形看上去似乎也是平行四边形。那么到底是不是平行四边形呢？答案是肯定的，那么如何引导孩子来进行思考与逻辑证明呢。

我们可以观察发现凹四边形，其中有两条边是凹进去的。正是因为如此，所以中点四边形有一条线露在原四边形的外侧。这时我们引导孩子将向里凹的两条线段的两侧端点进行连接。便可以发现有两个三角形是内外嵌套的。在这两个内外嵌套的三角形当中，他们拥有一条共同的底边即刚刚连接所得到的线段。而这两个三角形的中位线，就是我们内接中点四边形的一组对边。在前面的三角形中位线知识的基础上。可以明白这一组对边是平行也是相等的。

另外，我们将原四边形的另外两个顶点连接，得到另一条对角线的话，同样也可以得出另外一组对边也是平行且相等的。

至此，凸四边形与凹四边形任何一个四边形，它们的中点四边形都是平行四边形。

那么一个任意四边形内接中点四边形的面积是原四边形面积的多少呢？

平行四边形的内接中点四边形面积是原平行四边形面积的一半。证明很简单，只需要将四个中点对点连接，就可以得到八块小三角形，在八块小三角形当中，两两全等。即可证得中点四边形面积是原平行四边形面积的一半。

对于普通四边形的中点四边形面积是原四边形面积的一半，如何进行证明呢？

可以通过连接一组对点作出原四边形的一条对角线。这样，原四边形变被为分为两个三角形，同时中点四边形也被分成了两个平行四边形。此时可以探究，其中一个三角形，与其内部平行四边形的面积关系。通过观察推理可以发现。平行四边形的底就是三角形的中位线，是三角形的底的一半，平行四边形的高是三角形的高的一半。通过平行四边形与三角形面积公式可得，平行四边形是三角形面积的一半。同理可得，另一侧也是如此。最后可以得到中点四边形面积是原四边形面积的一半。

对于凹四边形原理也是一样。内接中点四边形的面积仍然是原四边形面积的一半。方法依然是作对角线，通过中位线的性质可证三角形与内置平行四边形的面积关系。最后可得中点四边形是原四边形面积的一半。

最值得耐人寻味的是任意凸凹四边形的内接中点四边形都是平行四边形，并且是面积是原四边形的一半。也许平行四边形是美丽的四边形吧，为何具有如此强悍的统一性与归属感？

事实上，在数学世界里，表面看似纷繁复杂的数学想象，往往具有内在的统一性与归属性。这需要学生具有强烈的探求精神，热切的探求兴趣，正确的探求方法，严密的探求思维，震撼的生命体验，数学将会成为一科最为怡情的学问。

几何图形面积计算，贯穿小学学习阶段。几何知识内容学习有助于学生空间想象能力发展，有利于学生直观想象能力培养，更是由特殊到一般逻辑思维能力培养的重要载体。

几何图形面积学习是从正方形面积开始的。起初是认识面积单位，当一个正方形边长是一米的时候我们就说这个正方形的面积是1㎡。同理，认识一平方分米，一平方厘米。

然后通过度量的方式学习正方形与长方形的面积公式，即一排有几个单位平方的小正方形，一共有几排。通过相同的几个加数的和，可以用乘法计算的理解，得出用乘法计算的公式。

在学生充分理解正方形与长方形面积计算的理解上。教材才引入了平行四边形面积的计算。平行四边形面积的理解是通过切割的方法，转化为长方形。再利用长方形的面积计算公式长乘宽计算出面积。在进行平行四边形图形切割转化的过程当中，学生充分体验到，平行四边形的原有大小面积没有发生改变。改变的仅仅是它的外形形状。而改变成长方形之后，长方形的宽就是原来平行四边形中的一条高。也可以引领孩子们形象地理解为进行切割过程当中的切口的长度。这是整个转化过程当中的重点与难点。

当学生理解了转化的本质，以及平行四边形的高与长方形的宽之间的本质联系。平行四边形的面积计算，学生就会迎刃而解，水到渠成。

有了平行四边形面积计算的功底，三角形面积计算就容易多了。无非就是一分为二罢了。这里不做讨论。

当学生对平行四边形面积计算，有了深刻领悟之后。梯形面积计算便摆着了学生面前。

事实上，在学生学习平行四边形面积之前。教材充分加强了学生对平行四边形表象的认识。例如把一个平行四边形用剪刀剪一次，变成两个三角形，或者一个梯形和一个三角形，或者两个平行四边形，或者两个梯形等。

在学习梯形面积计算公式之前。可以把此部分内容作为导入部分。尤其将一个平行四边形分成两个完全一样的梯形的认识与领悟。同时可以把平行四边形分成两个完全一样的三角形，作为思维引导的一个部分。通过引导提示让孩子发现。可以把一个平行四边形分成两个完全一样的三角形。从而得出三角形面积计算公式。那么是不是可以把两个完全一样的梯形组成一个图形，并且是我们已经学习过的面积计算公式的已知图形。

通过提示，引导，让学生动手操作。学生应该慢慢可以感悟到，两个完全一样的梯形，通过倒放其中一个可以组成一个平行四边形。于是，从而得出梯形的面积其实就是一个平行四边形的面积的一半。只不过这个平行四边形的底已经变成上底与下底之和了。我们就可以得出梯形面积计算公式，S=(上底+下底)×高÷2。

在梯形面积计算公式的理解上。此时把梯形换成实物图形。例如一堆木材，最底层9根，第二层7根，第三层5根，第四层3根。此时，需要求木材的根数一共有多少根，可以怎样求呢？从图的表象来看，可以列式为3+5+7+9。

当我们引导孩子回到梯形面积计算的角度上来。学生可以发挥想象，借用一组同样的木材堆，则可以组成梯形。于是可以得到木材根数的计算公式：S=(3+9)×4÷2。

接着将这个木材根数的计算公式与梯形面积计算公式进行比对，可以发现：最底层木材的根数相当于下底，最上层的木头根数相当于上底，而木材的层数相当于梯形的高。换言之就是梯形的面积计算公式与梯形堆积的木材根数的计算公式是一致的。

当然，我们学生可能会发现用梯形面积计算公式来计算，没有直接用加法来算简单。这时老师可以引导的学生意识到当木材堆的层数比较多的时候，利用公式来算就显得简便多了。

当学生理解公式的价值之后，我们可以再引导学生进行数学抽象，抛开图形与实物基础。直接出示：1+3+5+7+9+……+99

当然，学生可以借助梯形图形模型进行想像。逐渐得出计算公式：S=(1+99)×50÷2。在这里，公式当中50的理解最为重要，也是难点。在梯形当中，它是梯形的高。在木材堆中它是木材的层数。而此刻它就应该是加数的个数，即数的项数。

最后可以让学生理解像1，3，5，7……99，每相邻两项的差都是相等的一列数，叫做等差数列。而要求所有的数的和，就是求等差数列的和。即：S=(首项+末项)×项数÷2。

智取王位是一项益智器具游戏。在一排木槽内有十一颗旗子，最后一颗为红色。游戏规则是：两人轮流拿，每次拿1～2颗。谁能取得最后一颗红旗子“王位”，即获胜。

乍一看似乎与运气有关，事实上，内含玄机，有规律可循。不妨引导学生由少到多，循序渐进，探究其中蕴含的规律。

首先引导学生明白在本游戏当中游戏规则是：1.两人轮流拿；2.每次取1～2颗；3.取到最后一颗获胜。

其次引领学生深入游戏，探究内情。

不难发现，当棋子为一颗或者是两颗的时候，先拿者，必定获胜。当棋子为三颗的时候后拿者必胜。其中策略有二：一、当先拿者取一颗的时候，后拿者取两颗获胜，即1+2型；二、当先拿者取两颗的时候，后拿者取一颗获胜，即2+1型。

这时让学生反复动手操作并体验：一或两颗，先者必胜；三颗，后者必胜。

随后，由少到多，追加旗子。当有四颗旗子的时候，先拿者还是后拿者获胜？让学生实践操作，在操作中体验并得出结论：先拿者取一颗后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。同理，当有五颗棋子的时候，可以得出结论：先拿者取两颗后，剩下三颗，此时后拿者即本赛次中的先拿者，必胜。这两次策略的区别就是先拿者取一颗或者是两颗。目的是一致的，都是剩下三颗。

紧接着试验，当有六颗棋子时的情形。让学生反复通过操作实验感悟到，后拿者必胜。策略同样有二：一、当先拿者取一颗的时候，后拿者取两颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜；二、当先拿者取两颗的时候，后拿者取一颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜。

依次类推，让学生推测当有七、八、九颗棋子时先拿者还是后拿者必胜，然后进行验证与感悟。

最后让学生体验到一、二、三颗，四、五、六颗，七、八、九颗旗子时情形是一致的，只不过是情形再现或重复。

事实上本游戏的核心就是三颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被3整除问题。当除数为3时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数为调剂数。

如此一来，无论是11颗棋子还是另行增设棋子，当一方不知“内情”，知“内情”的一方定会伺机取胜。

游戏规则是人定的，一旦改变了游戏规则，游戏策略则需要重新探索。假如规定每次可以取一颗、两颗或三颗，怎样才能必胜呢？

此时可以引导学生采取同样的探究方法与策略进行探索。

当旗子数为1-3颗时，先拿者必胜，当四颗棋子时，后拿者必胜，策略有：1+3型，2+2型，3+1型。当五颗棋子时，先拿者必胜，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事实上就是先拿者先取一颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

同理，当六颗棋子时，先拿者必胜，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事实上就是先拿者先取两颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

当七颗棋子时，先拿者必胜，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事实上就是先拿者先取三颗后，转变为四颗旗子时后拿者（即本赛次先拿者）必胜。

当八颗棋子时，后拿者必胜，策略是按照四颗棋子时策略运用两次。

同前面游戏类似，本次游戏的核心就是四颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被4整除问题。当除数为4时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数与余3数为调剂数。

当学生彻底感悟与体认后，游戏规则还可以进一步更改。通过实验，分析与推理可以得出更广泛更一般的模型。

游戏规则是：两人轮流拿，每次拿1~n颗。谁能取得最后一颗红旗子“王位”，即获胜。

必胜策略：本游戏的极简模型——被n+1整除问题。当除数为n+1时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、余3数……余n数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数、余3数……余n数为调剂数。

“数学英雄”欧拉的天才之作—欧拉公式，为啥被称为宇宙第一公式？

欧拉公式对于学习数学的人来说都不会陌生神奇的计算工具渗透数学思想，神奇的计算工具渗透数学思想他被数学家们称为“最美公式”、“上帝创造的公式”，甚至还有人说它是宇宙第一公式。这个公式不仅蕴含着数学思想，并且还包含了宇宙的哲理，欧拉将最基本的五个常数组在一起，却形成了如此优美的公式。它可能是让高中生甚至大学生最为头疼的，但是它是每个数学领域的财富。

数学英雄--莱昂哈德欧拉

欧拉是著名的数学家、自然科学家。1707年在瑞士出生的欧拉，在13岁就入读了巴塞尔大学，16岁就获得了硕士学位，年轻有为。

而且神奇的计算工具渗透数学思想他在数学界的成就是无人能及的，每一个数学领域都可以看到欧拉的影子，欧拉也是解析数论的奠基人，就是我们所了解的欧拉公式，建立了数论和分之间的联系，同时欧拉也是历史最多产的数学家，现存的欧拉所留下的数学笔记就要比很多数学家一起写的还多，甚至还有的手稿在意外中丢失，不得不说欧拉是数学界中数一数二的天才。

欧拉公式--e^iπ+1=0

在这个公式里，都是平日里我们所见的常数，可以说有学习过数学的人见了都不会陌生。

了解两个超越数：自然对数的底e和圆周率Π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，还有就是我们最最常见甚至幼儿园小朋友都认识的0，就是这些最为基础且普通的常数，在欧拉的手下成为几个世纪以来最美的发现。

这个公式不仅仅代表着数学思想，也有欧拉对自然的思考，e代表着自然，Π代表着无限循环的可能，i代表着虚拟的想象，1是万物的起点，0则是万物的终点。大自然充满着无限的想象，但最后都会回归终点，想必这才是欧拉公式中最想表达的。

为啥欧拉公式就是宇宙第一公式？

虽然这种说法比较夸大，毕竟宇宙的奥秘我们还有很多没有探索，但是这也说明了在几个世纪中，欧拉带给人们的影响是多么的深刻。欧拉公式最大的成功就在于，它涉及的方面、领域广泛，它不仅推动了数学的发展，而且让人们有了哲学方面的思考。更是有数学家高斯曾说：“一个人第一次看到这个公式如果感受不到它的魅力，他不可能时数学家”。

总之，我们对宇宙的了解是有无限可能的，所以我们现在科技的发展，都是在探索奥秘的路上，在未来的某一天我们可能会看到宇宙的尽头，看到宇宙的终点，那时也许我们也就回归到了最初的起点，看到了一切诞生时的样子。

6年级数学确定位置怎么用量角器量

北师大版小学数学四年级(上)教材分析

2007年9月 韩德江

一、本册教材的整体介绍

（一）教材的主要内容

数与代数

第一单元 认识更大的数

l亿以内数的认识

l亿以内数的读写

l大数的比较与改写 能对大数进行改写

l近似数的认识

第三单元 乘法

l两、三位数乘法

l较大数的估计

l认识计算器以及运用计算器

l探索一些数学规律

第五单元 除法

l三位数除以两位数的除法

l路程、时间与速度

l体会万、亿等大数的实际意义

l商不变的规律

l带中括号的整数三步混合运算

第七单元 生活中的负数

l正数和负数的意义

l用正负数表示相反意义的量

l对0的再认识

空间与图形

第二单元 线与角

l线段、射线与直线的认识

l平行线与垂线的认识

l平角、周角的认识

l用量角器量角与画角

第四单元 图形的变换

l认识较复杂图案的形成过程

l能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°

第六单元 方向与位置

l在方格纸上用数对确定物体的位置

l根据方向和距离确定物体的位置

l 描述简单的路线图

统计与概率

第八单元 统计

l1格表示多个单位的条形统计图

l简单的折线统计图

l简单的统计活动

综合应用

1.结合具体内容设计的实践活动

l神奇的计算工具渗透数学思想你所在年级（学校、地区）有多少名学生神奇的计算工具渗透数学思想？四舍五入到十位是什么？

l准备一个长方体或正方体的纸盒，说一说长方体或正方体上的哪些边是互相平行的？

l测量你班全体同学的身高，按身高分组，并绘制条形统计图。

2.独立设置的综合应用

l走进大自然

l数据告诉我

整理与复习

l整理与复习（一）

l整理与复习（二）

l总复习

（二）本册教材的编写特点

1、提供密切联系学生现实生活的学习素材

本册教材在编写的过程中为学生提供了丰富多彩的学习素材，特别注意挖掘富有时代感和现实性的问题，以便于每个学生都能在学习的过程中感受数学与生活的密切联系，也能借助直观形象的材料更好地理解所学的数学知识。

如第一单元“认识更大的数”，对于大部分学生来说他们没有接触大数的经验，因此，教材安排了三个层次的数一数活动，以增强学生的感性认识。第一次数数，通过数小方块的过程，唤起学生已有的知识经验，引出计数单位的直观模型。第二次数数,数100个“一千”，让学生用自己的方法先数一数，再交流，逐步引导学生得出先数出一万，再一万一万数的方法，最后引出两个计数单位。第三次数数，是练习过程中的数数。练习中安排的多道题目都需要学生数一数，通过数一数的过程，使学生进一步理解各计数单位之间的关系，了解十进制计数的特点。另外，教材突出了多位数与现实生活的紧密联系，安排了“我国海洋资源”、“太阳系九大行星”、“火箭速度”、“国家图书馆的建筑面积” 等丰富的素材，使学生从生活、社会、科技等多个角度，感受周围世界中处处有数学，体会多位数在社会生活中的广泛应用。

又如“生活中的负数”这一单元，教材从学生每天接触的天气温度变化情况着手，通过了解各地的天气情况引入负数的概念。然后借助“海拨高度”、“收支情况”等素材，帮助学生进一步理解负数的意义。由于这些内容都是学生生活中的具体题材，因此，能减少他们学习的障碍，也容易引起学生学习的兴趣。

2、创设探索数学规律的情境

教材中创设了大量的探索数学规律的活动。探索活动可以分为两种形式神奇的计算工具渗透数学思想：一种是结合单元的学习，安排的探索活动；另一种是专题探索活动；如“探索与发现（一）有趣的算式”、“探索与发现（二）乘法结合律和交换律”、“探索与发现（三）乘法分配律”等。

3.体现解决问题策略的多样性

本册教材针对不同的问题，鼓励学生运用不同的策略去解决问题。

第一，对答案唯一的问题继续提倡算法多样化。在本册教材的乘法与除法的两大单元中，对每个新问题的解决，教材都呈现了各种不同的算法。如“卫星运行时间”（教材第33页）中的“114×21”，如何解决这道乘法题的计算？教材安排了多种计算的方法神奇的计算工具渗透数学思想：

①首先估计乘积范围

②讨论多种不同的算法，如114×20＝2280，114×1＝114

114×21＝114×7×3＝798×3＝2394，表格的方法。

③结合已有知识重点讨论竖式计算方法

通过学生的自主探索，产生不同的解决问题的策略，再通过充分交流，选择有效的计算方法。

第二，对多个答案的问题鼓励策略多样化。如教材第78页第3题，“学生在运动会获得了优异的成绩，有3人得第一名，4人得第二名，6人得第三名，12人获得鼓励奖。现在家长委员会奖励350元给他们购买奖品，而各类奖品有6种，请学生自己设计一个购买的方案并说明理由。”鼓励学生设计不同的方案，来解决问题。

4、重视在多种活动中培养空间观念

学生空间观念的发展、活动经验的积累、图形认识的体验等都是在数学实践活动中进行的。因此，本册教材设计了大量观察、操作、思考、想像、交流等活动，使学生在有挑战性的、充满想像和富有思考的过程中，探索图形的性质，认识图形的变换，描述图形的位置。为让学生能较好地理解这些内容，教材设计了折叠、剪拼、画图、测量等操作活动，使学生不断积累图形的经验，以利于发展空间观念。

如第二单元的线段、直线、射线与平行线、垂线等概念的认识，教材安排了大量的学生课堂操作活动。如在平行线的认识中，教材安排了在方格纸上平移铅笔的活动，通过对平移前后的比较，引出了平行线。接着，在练习中，又安排了“移一移”“折一折”等活动，以使学生进一步认识平行线。同样，在垂线、平角、周角以及量角与画角中，也安排了很多动手操作的活动。特别是教材将平移与平行、旋转与角结合在一起，使学生在图形运动中认识图形的有关性质，这不仅将图形的运动与静止结合在一起，同时为认识图形提供了一个新角度。

5、注重在统计过程中学习处理数据的方法

《标准》在统计与概率领域的具体目标内容中提出“通过实例，进一步认识条形统计图（1格表示多个单位），认识折线统计图”“根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据”等目标，根据这些要求，教材将统计知识的学习与实践活动结合起来，通过学生亲自参与的“栽蒜苗”活动，把数据收集、整理、描述和分析的过程结合在一起。

如认识1格表示多个单位的条形统计图，教材首先要求学生进行15天的观察，并能将蒜苗生长的数据记录下来。并请学生自己整理数据，并填入统计表内。随后，尝试将收集的数据用条形统计图的形式表示出来。由于这些数据来自于学生自己的观察、自己的收集，同样，在学习折线统计图时，教材提出“估计一下，蒜苗第10天大约长到多少厘米”“预测一下，蒜苗第20天约长到多少厘米”两个问题，图上并没有这两个点，这就需要分析统计图中的变化趋势。由于学生有了自己记录数据和整理数据的经验，他们就能积极地进行估计与预测。

6、设计富有特色的综合应用活动

在第一学段中，实践与综合应用活动在教材中主要以实践活动的形式为主，第二学段起，实践与综合应用活动主要是以综合应用的形式呈现的。教材中除了在各单元中安排有实践活动和综合应用（包括解决实际问题的活动，探索规律的活动，探索解决问题策略的活动）等外，还设计了“走进大自然”和“数据告诉我”两项专题活动。

7、渗透数学的文化价值

数学教学除了让学生掌握基础知识和基本技能外，也应关注学生数学素养的培养，而这种素养的重要方面就是认识数学的文化价值。本册教材在编写的过程中从三个方面进行渗透。

第一，感受数学的文化价值。教材注重挖掘所学数学知识在现实世界中多方面的应用，实现数学知识的文化价值。

第二，感受数学美。教材在呈现的方式上尽可能给学生以美熏陶，加深学生对数学美的理解。如教材安排的数学欣赏内容，一个简单的图形经过多次的旋转，形成一个美丽的图案。又如练一练中，一幅七巧板，经过平移与旋转，变换出各种优美的图案，让学生感受到图形世界的丰富多彩和神奇。

第三，了解数学发展的历史。教材通过“数学阅读”、“数学万花筒”、“你知道吗”等栏目给学生提供了关于数学在历史上、文化上和现实世界中的作用的实例。如结合大数的认识，教材设计了“从结绳记数说起”，结合计算器的认识，教材介绍了计算工具的演变过程的生动，从远古时代的石子计数，到中国人发明算盘，直至现在世界上运算最快的计算机，通过这些材料旨在让学生了解记数方法和计算工具发展的过程，感受到数学与人类社会发展的进步。

二、各单元内容介绍与教学建议

一数与代数

第一单元 认识更大的数

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内容

建　议　课　时

数一数(体会较大数的实际意义)

2

人口普查(大数的读写)

2

国土面积(大数的比较与改写)

3

近似数

从结绳记数说起

练习一

2

机动

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1.在数数的过程中，感受大数的意义

首先，通过数小方块，引出“十万”的计数单位。

然后，通过练习中的数数活动，进一步理解各计数单位之间的关系，体会十进制计数的特点。

2. 在数据收集的过程中，掌握大数的读写

让学生收集一些生活中的大数，并说一说这些数据的实际意义，以提高学生感受的程度。

3. 结合实际背景，帮助学生学习大数的比较，认识数据改写单位的必要性

数据改写的活动应尽可能创造条件安排在一定的实际背景下进行，从而让学生体会数据改写的必要性。

4. 在观察比较中，掌握求近似数的方法

近似数在日常生活中有着重要的作用，它与精确数不同，它仅表示某一对象的一定范围。本单元的学习是使学生在体会近似数的意义及作用的同时，掌握求近似数的方法（以四舍五入为主）。

第三单元 乘法

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教学内容

建议课时

卫星运行时间（两三位数乘法）

2

体育场（大数的估计）

练习三

1

神奇的计算工具

1

探索与发现（一）（利用计算器探索规律）

5

计算工具的演变

探索与发现（二）（乘法结合律和交换律）

你知道吗（加法交换律和结合律和）

探索与发现（三）（乘法分配律）

练习四

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1. 在情境活动中，掌握乘法的计算方法

学生在第一学段，已经学习了两位数乘两位数的乘法与三位数除以一位数的除法，这为学生进一步学习奠定了基础。因此，在本单元在教学中，可以放手让学生自主探索计算的方法。

如“卫星运行时间”的活动，在出示情景图后，可以让学生简单地说一说卫星运行的情况，列出算式，接着让学生估一估大约的时间。教材中安排的两种估计方法仅是一种参考，学生在估计的过程中可能还有更多的方法，只要他们说得有道理都应肯定。随后，讨论具体的计算方法，由于学生有了第一学段的基础，一般说来计算上难度不是很大，可以放手让学生自己坐一坐，然后再进行讨论，从而掌握两三位数的计算方法。

2. 在交流活动中，归纳估计的方法

估计数据有各种不同的方法,关键是能根据不同的情况确定不同的方法。本单元的主要估计策略是把整体分成均匀的几部分，再由部分估计整体，这是一种常用的方法。

“估计”教学难有“确定”的答案和“唯一”的方法, 教学中教师要多给学生留一点“时空”。

3. 在游戏活动中，熟悉计算器的操作

学习计算器的目的并不是单纯地进行计算，而是为了更好地解决实际问题和探索数学规律。教材通过游戏的活动,既巩固计算器的操作,同时又为探索一些数学规律提供了一个平台。教学中教师要帮助学生了解计算器在日常生活中使用的普遍性，结合学生的实际情况，在使用中了解和掌握计算器功能键（特别是M+储存和MR提取 ce或c清除键）的作用及使用方法。计算器的使用为学生提供了尝试估计方法的空间，可以帮助学生在交流的基础上，形成有效的解决问题的策略。

4. 在探索过程中，发现乘法的运算律。

本单元安排了四个探索与发现活动，旨在引导学生经历发现问题、举例验证、归纳规律、实际应用的探索过程。在运算律的学习中，要通过练习掌握利用乘法分配律解决乘加混合运算的简便计算方法， 培养学生的简算意识。同时由于运算律的价值，属于通性通法，首要作用不在于简算本身，目的是通过应用进一步体会运算律，强调的是简算意识，而不是简算的技巧，所以教师要注意控制简便计算的难度，以书上练习为主，淡化不必要的技巧训练。

第五单元 除法

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内容

建议课时数

买文具（除数是整十数除法）

2

路程、时间与速度

2

参观苗圃（三位数除以两位数）

3

秋游（三位数除以两位数）

2

练习六

2

国家体育场（万、亿以内大数的实际意义）

1

探索与发现（四）（商不变的规律)

2

中括号（四则混合运算）

2

练习七

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1. 在探索的过程中归纳计算的方法

提倡算法多样化的宗旨是承认学生思维策略的差异，尊重学生的独立思考，它是提高学生探索能力，促使学生不同潜能得以充分发挥的有效途径。如“买文具”的活动，对于三位数除以整十数的计算，交错呈现了三种计算的方法，有逐步相减的、有用乘法思考的、也有用竖式计算的。又如“参观苗圃”的活动，如何试商是除数是两位数除法计算的关键，在教学的过程中，教师不要急于为学生提供现成的计算方法，可以在学生探索计算方法的基础上，让学生自己总结各种方法的优劣，选择适合自己的方法。

2. 在实例比较中归纳常见的数量关系，在数据推理中发现商的变化规律

建议通过具体问题的讨论，使学生认识到两个物体运动的快慢与路程和时间都有关系。通过观察比较算式中被除数、除数和商的变化关系，发现商不变的规律

3. 在解决问题中提高运用知识的能力

本单元解决问题内容的安排都与计算同伴。在解决问题时，首先需要指导学生分析呈现的信息，会选择相关的信息。因为在题目中有些信息是多余的，有些信息是隐蔽的，只有把这些信息合理分析，才能正确地解决相关的问题。其次，是合理地利用题目中的条件，并能根据条件之间的关系作出简单的推理。如教材中让学生自己设计购买的方案，条件比较多，且具有开发性，因此，如何根据题目的要求，作出一些简单的推理就显得十分必要。当然，对一些有困难的学生，在解决问题时，可以逐步出示一些条件，以减轻他们学习的压力。

4. 在运算的过程中提高估计的意识

教材强调培养学生的估算意识，建议在练习运算时，尽量安排估一估的要求，以提高学生估算能力。“国家体育场”是学生学习除法以后，利用除法知识，结合具体情境，进一步估计、感受万、亿等大数意义。教学中教师要善于引导学生运用“身边”熟悉的事物做参照物“刻画”较大的数，再用计算器验证学生的描述，纠正偏差。

第七单元 生活中的负数

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内　容

建议课时数

温　度

3

正负数

机动

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1借助温度情境了解正负数的表示方法，感受引入负数的必要性，体会相反意义的量。

温度的变化是学生能体验到的事情，以温度为载体，可以帮助学生更好地体验两个相反意义的量的关系，通过冷热之间差异的比较，帮助学生理解正负数的意义。所以，教师要充分利用温度作为负数引入的“原型”理解负数的意义。教学中可以首先让学生记录前一天各地气温，课上要鼓励学生用自己的方式表示“零下”。在学生有了自己对“零下”的思考后，再让学生在温度计的模型上找对应的温度，并对不同的温度进行观察、比较，加深对正负数意义的理解。

2. 在数据的收集过程中，认识负数在日常生活中的作用

在对正负数有了初步的认识后，教材接下来是在熟悉的、丰富的生活情境中，进一步体会负数的意义。教师要鼓励学生从多种途径收集负数所表示的不同的量，交流其所代表的意义通过对多种现象的讨论,认识生活中存在相反意义的量及其用负数表示的合理性与简便性。学生要会用负数表示一些日常生活中的问题，了解正数、负数和零的关系。

（二）空间与图形

第二单元 线与角

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内 容

建议课时

线的认识

3

平移与平行

相交与垂直

旋转与角

4

角的度量

画　角

练习二

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1. 经历“具体—抽象—概括—表示”的概念学习过程，在操作活动中，认识较抽象的平面图形

教材在编写上与以往最大不同的是加强了操作活动。例如，对平行线与垂线的认识，突破了原来近依靠直接观察得出概念的作法，将平移的操作方法移植到平行线的认识上，通过学习在方格纸上平移铅笔的过程，引出互相平行的观念。这样安排不仅使运动的物体与静止的图形结合在一起，也为认识图形提供了一个新的视角。平角和周角的认识，教材呈现了两根硬纸条钉在一起，固定其中的一根，旋转另一根的活动。量角器量角与画角的学习都是通过学生自己活动，概括出量角与画角的方法。对于这些活动，教师应尽可能创造条件，让每个学生都能有参与的机会，为他们认识抽象图形提供直观支撑。

2. 在实际情境中，提高数学应用的意识

在学生的生活环境中存在着大量的图形，这些图形是学生学习本单元内容的重要素材。所以，在教学的过程中，多让学生从身边的、常见的、能感受到的想象中发现熟悉的图形是学习理解图形、掌握图形的有效途径。如，认识线段、射线与直线时，交错安排了“看一看”的活动，从斑马线到城市的灯光再到笔直的铁轨，都是学生认识图形的载体，也是学生形象化地理解概念的有效方法。再如学习了垂线后，教材安排的木匠测量门框的直角、瓦工用铅垂线测量墙壁的垂直切开等内容，都是学生进一步认识垂线的题材。这些内容既是数学知识深化的材料，也是提高学生应用意识的平台。教学中要充分注意学习题材的广泛性，从学生身边的事例中挖掘素材。

3. 在自主探索中，发现一些简单的数学规律

教师要有意识地引导学生在活动中自觉地进行思考，并尝试用自己的语言说明操作的过程以及得到的一些结论。这不仅有利于学生更好地理解图形，同时也发展了他们的思维。

4. 在测量过程中，体会建立标准度量单位的必要性

教材没有直接引入量角器，而是设计了一个活动，让学生对两个角的大小进行比较。教学中教师首先要鼓励学生运用学过的知识和了解的工具，探索量角的多种方法。在多种方法的比较中，通过对精确度的追求，帮助学生体会引入量角器的必要性。

第四单元 图形的变换

一、本单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内 容

建议课时

图形的旋转

2

练习五

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

本单元是在三年级下册初步感受了生活中的平移与旋转现象，并能在方格纸上画出一个沿水平、垂直方向平移后图形的基础上的进一步发展。教学中要注意以下几个方面：

1.在操作的过程中，认识图形变化的特点

鼓励学生动手操作，并在操作的过程中积极地思考。如“图形的旋转”活动，教材展示的两幅美丽的图案是由一个简单的图形经过旋转而得到的。教学中，可以准备四张画着同一图案的纸，然后逐张围绕某一点进行旋转，旋转90°后，贴上一张纸，再旋转90°，再贴上一张纸，直至形成一个完整的图案。在旋转的过程中教师要提醒学生观察并思考：图案发生了哪些变化，是绕着哪一点旋转的。让学生进行操作，对他们认识图形的变化是十分有利的。

2.在图形变换中提倡不同的操作方法

一个图形经过变换后，可以得出新的图形，但得到同样的新图形，可以有不同的操作方法。因此，可以先让学生想一想，再在方格纸上试一试，然后全班来说一说。在教学过程中，教师要深入到学生中去，从中发现学生有特色的操作方法，并给予鼓励与肯定，为学生互相学习与交流提供条件。

3.在图形欣赏中，鼓励学生设计制作美丽的图案。

第六单元 方向与位置

一、单元内容结构和前后联系（略）

二、课时安排建议

教 学 内　容

建议课时

确定位置（一）

3

确定位置（二）

练习八

1

三、本单元教材编写特点和教学建议

1.结合具体情境，探索用“数对”表示位置的方法

教材从学生自己十分熟悉的座位表入手，通过说一说小青的座位，引出第几组与第几个的话题。接着，再从第几组第几个引出抽象的数对表示方法，符合学生由具体到抽象，由特殊到一般的认知规律，有助于学生理解数对在确定位置中的作用。在生活经验中，逐步抽象出用数对表示位置的方法。

2.在操作的过程中，能根据方向和距离确定物体位置

利用方向和距离确定物体位置与第一学段不同的是：在方向上，从8个方向发展到任意角度的方向；在路线方面，从单一的路线发展到几个点的路线。同时，又将方向与路线两个方面的内容进行了综合。所以，学习这些内容的难度可能比较大。为减轻困难，教材中设计了多次动手操作的活动，目的是通过这些活动，使学生积累感性经验，以便在此基础上进行抽象。

（三）统计与概率

第八单元 统计

一、本单元内容结构和前后联系

二、课时安排建议

教 学 内 容

建议课时数

栽蒜苗（一）

2

栽蒜苗（二）

2

三、本单元教材编写特点和教学建议

1.在实验活动的过程中，认识1格表示多个单位的条形统计图

通过栽蒜苗的数据记录过程，让学生体会到一格表示多个单位的必要性。

2.会根据图表的信息,预测数量的变化情况

在统计图表方面除了要求学生能收集、整理与描述数据外，在练习中还较多地提出了分析图表的要求。如类似“从图中你能获取那些信息？与同学进行交流。”等。在学习折线统计图时，教师要引导学生根据折线图提供的有关数量分析、预测蒜苗生长的趋势。通过条形统计图和折线统计图的比较，体会折线统计图在表示“趋势”方面更直观。

3.在关注现实的生活中，认识数据统计的作用

结合一些社会重大问题的题材，让学生关注现实生活中发生的重大事件，进一步体会折线统计图的作用。

（四）综合应用

走进大自然

在观察中体会生活中处处存在数学问题，综合运用大数和线与角的知识解决问题。

数据告诉我

综合运用乘除法、大数、统计知识解决现实问题，同时让学生会了解收集信息的多种途径。

总课时：58-----60课时

引起大家注意的几个问题：

1、本册教材的教学重点在哪里？一、三、五单元，占总课时的五分之三。

2、关注算法多样化，但竖式计算是重点。

3、规律的探索应是在教师的指导下以学生自主探索为主。

4、教材是版本，是教学的主要依据，但要灵活运用教材。

5、要充分利用教学情境，用好教学情境。

计算器对运算能力的影响

随着21世纪的到来，以计算机和互联网为代表的当代信息技术，正在以惊人的速度改变着人们的生存方式和学习方式，也迫切需要我们改变教育方式，教育课程改革要反映信息技术所引发的变革，就必须在教学课程理念，教学课程的设计与实施中与信息技术进行整合。

一、数学技术——信息技术的技术支撑点

技术就是运用知识、工具和技能解决、探索一些实际问题，用以扩展人的能力的手段与方法体系之和。技术是一个技术性过程，它是人们在做、制造和实施的不断演化过程中提高技术水平、发挥技术功效（美国2061计划）；技术是人们认识世界和认识自己我的一种体现，它是随着人类社会的进步而不断进步，是人类文明的基本象征，也是推动历史发展的一种动力源。从古代的钻木取火技术、近代的蒸汽机技术，到今天的信息社会中的信息技术，从扩充人的体力的技术到如今扩充人的脑力的技术，无不体现出技术的价值和它所承载的人类智慧。综观技术的发展，人类为了更好地生存与发展，创造了许许多多的技术，它们或多或少都与数学的发展有着不可分割的联系，可以说是相生相伴。人类最初掌握的比较完善的技术之一可以说是记数技术，从几万年前的刻痕记数（以树干、骨头为物质载体，把数刻在其上记事）、结绳记数（用草绳打结记事）、石子记数、手指记数，到近代用的纸笔记数、现代的计算机计数，这些记数方法的不断改进与演化已经形成了今天相当完善的记数制与计算技术。这些计算技术也就成为数学技术的主体，而承担其实施的载体就是电子计算机。现代计算机就是神奇的0与1的组合体。要是没有德国数学家莱布尼茨（1646~1716）发明的二进制，也就不可能在今天计算机的出现。正是由于数学以它惊人的特性与人类的发展息息相关，以独特的身份介入技术的发展并融入其中，而且以它的精确性和内在美体现出它在方方面面的有效性，那么数学也就理所当然地成为关键技术的关键，成为信息技术的支撑点。

数学技术一般指实现数学运算、推理、应用的信息技术，它总是伴随着数学的进步而进步。数学的原理、思想、方法与技术结合而形成的数学技术本质上就是一种高科技。离开了数学技术，信息技术将成为无源之水，也就谈不上发展了。

数学技术是数学与技术以灵巧方式组合成的二者不可分割的和谐整体。从某种角度讲。，数学上的每一次重大的发展和突破都是技术有大的发展与进步的前奏，而事实是数学的发展往往超前于重大技术的发现而走在前面。数学的追求与技术（科学）发展的目标是相一致的，都追求简单、清晰、方便、可操作、易于掌握。其实，现阶段数学总是任何计算机仿真的核心，数学通过对复杂现象的仿真建模，借助计算机对数据流进行缩成和可视化，将有助于人们把事情做得更好、更快、更安全、更便利。数学技术正在以不同的形态广泛地应用于现实生活世界的各个方面。检查身体的CT扫描技术，车辆、飞机的模拟、设计和控制技术，金融证券价值的估算技术，天气和气象的预测技术，电子设计电动化以及生物工程等技术，其核心都是数学技术。数学技术正是依附于计算机来显现它的威力，而计算机正是依靠数学技术得以工作与革新换代。

“信息技术是指对信息进行采集、传输、存储、加工、交流、应用的手段和方法的体系。”信息技术按表现形态的不同分为硬技术与软技术，前者指各种硬件设备，即一种物化形态的技术；后者指有关信息获取与处理的各种知识、方法与技能，即一种智能形态的技术。前者就是将人类的一切信息都以计算机语言的0或1的二进制来表达，这是人类文明在数学基础上的一次史无先例的科学整合，是影响人类自下而上和发展的巨大科学成就，而最具代表性的计算机的设计者就是20世纪最著名的数学家冯·诺依曼；后者所指的信息获取与处理的知识、方法、技能都是与数学技术密不可分的，从某种程度上看，就是数学化的过程。由此可见，数学技术是信息技术中最为关键的技术，是信息技术的技术支撑点。

二、信息技术与课程整合

信息技术课程整合有两个指向：一是纵向整合，将技术融合于一门课程；二是横向整合，通过技术促进多学科的综合。

进行信息技术与课程整合，必须建立全新的教育关系。技术是关系的基础，信息技术可以改变传统的师生关系。在技术不发展的时代，教师是信息的拥有者，学生是接受者。在这样的条件下，师生关系就是传统的以教师的教为主这样一种关系。信息技术改变了这一切，首先，现代信息技术改变了社会中的信息分布状态和人们对它的拥有关系，造成了信息的多源性、易得性和可选性，从而改变了人们之间的教育关系。在这种情况下，我们开展信息技术与课程改革，首先就要从突破传统的教学模式和教育关系，建立一种全新的教学模式，真正让学生成为自主的学习者，而教师则起到引导、帮助、导向、组织的作用。

信息技术整合到课程中，将对传统的课程产生结构性的影响，传统的稳定的课程结构将被破坏，而代之以面向过程的课程框架。在这样的课程结构中，信息技术通过对学习资源的支撑、对学习过程的支持和对贯穿于整个学习过程的评价的支持，真正实现了与课程的整合。

信息技术整合到课程中，技术只是作为课程中的一个要素，对课程的过程、环境，学习的选择、交互，学习活动和学习评估提供广泛的支持。以课程的核心因素为中心，信息技术整合课程包含以下这些要素：

·注重于基本技能、内容和高级思维技能；

·围绕大的主题和有意义的概念组织学习；

·在不同课程领域间建立连接；

·为学生提供运用所学技能的机会；

·将可信的评估作为学习的综合组成部分；

·将真实生活的经验包容其间；

·吸引学生、激发学生，给学生一定的挑战性；

·适应广泛的学习风格和多重智能；

·提供对内容的更深入的理解；

·提供小组学习机会；

·将技术作为学习的综合组成部分。

信息技术整合课程模式有其鲜明的特色，一方面强调学生的个性发展，另一方面也强调学习的合作；重视知识获取的过程，也强调个人经验基础上的知识建构。在学习的方式上，信息技术整合模式以学生主动探究的学习方式为主，而作为载体的课程，则可以有许多种表现形式，其中之一，就是本文要介绍的主题学习模式。

与目前关于整合课程的研究一样，主题课程是建立在建构主义学习基础上的。其理论前提是，学习者在自己概念的基础上，在适当指导的基础上，从自己过去的经验和现在的所学当中建立的意义才能最好地理解。

三、信息技术——数学及数学技术发展与应用的平台

现代信息技术的发展、应用，把数学以技术化的方式快速地传送到人们日常生活的各个领域，使得数学对科学、技术、社会的发展起到了更加巨大的推动作用，同时也促使常数技术的不断发展。数学技术的发展使得图形计算器、数学软件的功能增长，用于计算机、解方程、绘图像、解微积分方程、因式分解、数据统计、数值计算、符号演算、机器证明、图形演示以及进行思维实验都能以更加简洁快捷的方式进行，而且使得计算机的验证功能、编程功能、联网功能更加强大。由于数字化经济、数字信息处理以及大量的探索性数据分析、观察、实验、模拟与计算技术密不可分，因而数学就同时具有科学和技术的双重身份，这也就从某一侧面反映了数学的实质性内涵。由于计算机的发展。使人们可以解决非常复杂的非线性问题，已经超越了常规解决问题的方法，利用计算机的支撑能揭示未来数学的现象，能给数学以强大的推动力，计算机不仅为数学应用提供了解答，而且赋予人们以灵感和直觉，数学实验室软件能够动态地揭示知识的构造，并形象地对数学知识进行表述，而且能动态地呈现问题产生的过程，并自动解决，相互推理。计算机的应用对数学家而言犹如望远镜对于天文学家、显微镜对生物学家，给数学家进行数学研究和创造提供了锐利的武器。

信息技术为数学的发展注入了活力，在计算机面前由于好多知识变成动态化，可以激发人们对数学的热爱，引发人们展开想象的翅膀不断思索与追求，使得数学现在人们面前。由于计算机的影响，数学正在加速改变着它的内容、结构和方法，也加速改变着人们对数学的理解方法，这是因为几何现象的实验成为可能，从数学上看，迄今为止代数的表现形式在书写表示方面有非常有利的一面，几何不是记号，而仅仅是你头脑中的某个几何对象——图形，表现的是更为抽象和复杂的数学概念，借助计算机就可以传送出比现在更多、更丰富的几何内容，如可以展现一些分形模型、一些动态的复杂曲线等。用计算机进行科学计算是计算机最为基本的功能，它可以在很短的时间内收集和处理大量的数据，作出判断，形成公式，构建理论；计算机可用于作数学实验，如火箭发射、核弹爆炸、军事演示、飞机汽车桥梁设计等都是借助计算机进行实验的；计算机同时还可以进行数学证明，如四色定理在1976年被两闰美国数学家用计算机予以证明，我国数学家吴文俊也在计算机上用代数方法证明了欧氏几何已知的一切定理。

数学是一个非常美的领域，这是因为数学的主要部分是由人类的心灵构成的。你可以自由探索自己心目中的数学世界，正是这种自由探索才是数学美的力量所在。计算机技术为数学这种美的展现提供了一个丰富的平台，给人们以丰富的探索与实验空间。数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。正是有了信息技术，加快了人类认识自然与人类自身的速度与质量，基因工程就是一个典型的例题。在信息技术条件下，许多新的数学思想与方法不断突破，数学结构与内容的不断丰富，一些新的学科——近代数学技术、运筹优化、工程自控、信息论、数理统计、计算机科学、模糊识别等也就应运而生。计算机与数学的结合，使得数学开拓了研究领域，成为数学探索的新平台。

数学家们总是用他们的思想眼光来审视出现于数学研究所有领域中的抽象的目标与过程。计算机技术的巨大进步已经使得把这些模、主观和只能在头脑中想象的抽象的对象、目标、过程外在化而变得很容易，也就是用精确、客观和其他人可以共享的可视化来表现、演示，从而使思维及过程视觉化。数学对象可以用计算机来表示、展现，从而使人们对数学对象产生新的认识，由静到动、构形、成形，进而进行操作、实验，特别是几何对象——曲线、曲面、多面体，而成为任何计算机仿真的核心。在计算机环境下，人们更多的是用渐近方法、数值方法去探究数学规律，进行建模和科学计算。如利用计算机可以对进行小数点几十亿位以后的计算，用来检验人类的智慧水平。同样好多在数学领域无法实现的一些设想在计算机环境下正在不断实现，如几千年来人们梦想的数学定理的机器证明的实现就是一个极具代表性的例证。由于计算机的介入使得数学的应用与普及不断深入，已逐渐渗透到各个学科，取得了惊人的成绩，数学价值与功能的不断挖掘促使人们对数学的认识更加全面深刻。

四、信息技术——数学课程整合的助推器

随着21世纪的到来，以计算机和互联网为代表的当代信息技术，正在以惊人的速度改变着人们的生存方式和学习方式，也迫切需要我们改变教育方式。为了迎接信息技术的挑战，为了中化民族的复兴，为了每位学生的发展，新一轮基础教育课程改革正在全面展开。正是由于数学、数学教育与信息技术有着天然的不可分割的依存关系，那么在当前基础教育课程改革的新形势下，数学课程的改革就显得意义更加深远和重大。现代信息技术的发展一方面为数学教育的普及与传播提供了得天独厚的土壤，另一方面也对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程改革要反映信息技术所引发的变革，就必须在数学课程理念、数学课程的设计与实施中与信息技术进行整合。

1、信息技术与数学课程理念的整合

理念是理性化的一些观念，具有稳定性、长效性、持续性、指导性。形成正确的数学课程理念是更好从事数学教育的逻辑起点，因为理念在数学教育活动过程中具有统驭作用。在义务教育阶段的数学课程标准中，基本理念专门有一个方面来阐述现代信息技术在数学课程中的地位，其他的几个方面也间接或直接地涉及到信息技术。在高中数学课程标准的框架设想中也高度重视信息技术对数学课程的影响，认为应不仅重视利用信息技术来呈现课程内容，更应重视信息技术与课程内容的有机整合。设想中提到要在课程中使用科学型计算器以及各种数学教育平台，加速数学与信息技术的结合。在内容上，要突出算法在整个数学发展中的独特作用，使算法成为理解数学发展的重要线索，力求把算法融入到数学课程的各个部分。正是因为信息技术已经融化到数学教育的深层结构，融入数学教育的知识体系，成为传播内容的最佳工具和学生探究知识、体验数学、感受知识的中介，在可预见的将来，信息技术将使数学教育发生一些实质性的变化，数学教育的面貌将会焕然一新，数学教育的实践与数学教育的理论研究将会更加深入。

信息技术的发展改变了人类学习与生存发展的环境，也改变了几个世纪数学教学、数学学习的方式。由于它对人发展的重要性，迫使人们不断思索数学与现实的切合度；更是因为信息技术与数学技术的千丝万缕的联系，使人们认识到它在数学课程结构中的重要性。信息技术不仅被看做是教师教的工具、是学生学的工具、是学生的认识工具与情感发展工具，而且也是数学教育工作才在建构数学内容体系时首先考虑的因素，进而引发人们重新思考数学课程的基础性、多样性、选择性以及如何在信息技术条件下使学生积极主动地学习，在打好基础与追求创新中不断提高学生的数学思维能力，更进一步促使人们思考在数学教育过程中如何利用与发展学生的信息技术能力，如何处理好师生关系。在信息技术条件下，必将改变人们对数学的内容、形式、应用、人文价值以及评价的认识与看法，可见信息技术与数学课程理念的整合是数学教育发展的必然。

2、信息技术与数学课程内容选取的整合

信息技术与数学课程内容的整合可以打破数学知识间的条块分割局面，使传统代数、几何、三角分家的体系成为一个有机的整体，打通知识融合的道路。义务教育阶段，数学课程标准按不同层次将学生必须学的数学知识分为数与代数、空间与图形、统计与概率以及实践与综合运用四部分，然后按不同学段整合成学生的学习领域。而这些内容标准只给出具体目标，不直接对教学具体内容、教材编写体系、教学先后顺序等问题作出硬性统一的规定，使学生所这和教师所教富有弹性和力量。在当今信息技术迅猛发展的时代，各种信息扑面而来，越来越需要人们综合素质的提高，需要学生动用各种知识、方法和手段来获取信息，特别是一些数据信息的处理，借用计算机来过错成更加快捷方便，使是与我们不能分离的数显得更具应用价值。即使对一些烦琐的计算、方程的求解、递归、迭代，也能在计算机上实现，使得日常生活中一些重要的数学知识以快捷方便的形式出现在课堂上，成为学生学习的内容，大大丰富了学生的知识疆界。利用计算机可以更方便地寻找数与形的规律，使得观察与验证得以进行，使得数与形的结合真正从理论走向实践。正是借助于计算机，才使得一些现代数学的内容能够及时地渗透到中学数学内容体系之中，如分形、混沌问题、孤立子等非线性知识进入学生课堂。同时才有可能把原先一些费劲的烦琐计算问题简化下来，使学生有更多的时间考虑如何探索获取更多的知识，使得有更多的内容以方便的形式介入学生的学习过程中，真正实现数学内容的弹性化、学生发展空间的扩大化；使学生有机会接触一些有重要价值的数学知识，如高中数学中设计逻辑框图让计算机去执行、用计算机符号系统表示数学内容、用计算机语言表达数学命题、用程序和算法表示数学过程，“IF…，THEN…”这样的语句可以在数学课程中出现等。

信息技术的介入使得数学知识的结构发生了一些变化，可以使学生认识数学知识的组成要素，特别是对它的一些基本属性进行得新认识，使知识更多的以过程的方式进入学生的学习生活中。而从事编写教材中的一些知识呈现方式动态化、可操作化，更多的是让学生去试验。使得师生的思维方工莉以不断扩展，人们更有信心和力量。

3、信息技术与数学教学的整合

信息技术与数学课程的整合最直接的就是教学方式的变革与学习方式的变革。在信息技术条件下，引起数学教育工作者更多的就是对教学观的反思与课堂结构变化的关注。信息技术环境下所发生的最根本的变化之一是教师作用与角色、学生学习环境的变化，教师不再是知识的提供者、权威和智慧的源泉，而成为学生进行探索和发展的伙伴、援助者和指导者、促进者、引导者。学生不仅仅是从听与所作业中获取知识，而是在自主探索、合作交流的情境中进行学习；学生不再是知识的被动接受者，而是知识的主动探索者，问题讲座的启动者和调整者，问题解决的参与者、经历者，使学生获得更多的学习机会与权利。

信息技术对数学的学习者与教学者都将产生深远而又持久的影响，这将是革命性的一场变革。学习方式（地点、时间、环境、资源）发生了变化，教学内容与学生的发展的关联性将无比接近，教学模式将更加体现数学课程改革的新理念，使人人都能得到发展。由于有信息技术作为学习的平台，就可以满足多样性、个性化、区别化的需求。学生可以利用的资源更加丰富，会更加积极地参与学习过程，探索与不断思索才能实现。对教师而言，原先在教学中起主导作用的教材、教参、黑板、粉笔等载体和手段现在可以被以计算机为主要载体所营造的教学环境所代替，如多媒体学习系统、资料库等，这样教师不仅有灵活选择一些素材的余地，而且可以大胆创设一些教学环境，设计更加开放互动的学习活动，参与式、活动式、主体性教学得到实现，师生关系得以改变，成为真正的合作者。

总之，21世纪是信息时代，是科学技术飞速发展的时代，随着信息处理手段的不断进步，对教育内容、教学方法、教育体制和教育思想产生了巨大的影响。教师作为信息的主要传播者，掌握现代信息技术并与专业教学有机整合已有是教师的最基本的技能，同时现代信息技术还是新时代教师的主要工作手段和工具之一。多媒体教学、远程教学已经成为重要的教学方式与手段。由于这些手段的应用，教学效率大大提高，传授知识的广度和深度大大拓展。由于这些手段的应用，使传统教学中以教师为中心转变成为以学生为中心，学生成为认知主体，经过感知、筛选、归类、概括、收集、重组等一系列心理活动和交互学习活动，形成与发展自身的知识结构，突出了学习者的自主性和个性化。生动活泼的教学活动和前所未有的高度的可视化教学内容呈现，要求教师必须尽快适应这一挑战。

信息与数学教学的有机结合，为数学教学改革增添了一种新型的教学手段，由于数图结合，手眼并用的特点及其模拟、反馈、个别指导、分层练习和动画的内在感染力，所以具有极大的吸引力，通过教学实践，使我认识到，只要全体教师共同努力，去开发、去研究、去探索、去实践，数学教学就会借助现代信息技术，开创出一片新天地！信息技术提供了理解、探索数学的平台，把数学变得容易理解，使得数学走向生活，走向现实，更加情境化，使得数学教学更加生动活泼，真正从书本中、课堂上、考试中走出来，回到数学教学的本体上来。利用技术之间的交互作用，创设逼真的数学学习情境，用录像、影碟以及计算机软件的方式呈现数学问题，以视觉形式出现比以文本的形式出现使得数学材料更具有活动性、可视性和空间立体感，而且易于与其他学科相结合，使得数学知识与其他知识融通起来，进而使学生深刻全会数学的作用与价值，感悟数学的真谛，真正经历数学化的过程，共享学习收获，从中真切地感受数学的优美、力量、统一性。

数学课堂上怎样激发学生的学习兴趣

作者:刘丽琼 学生是学习的主人神奇的计算工具渗透数学思想，教师是组织者、引导者、合作者。我们既要注意发挥教师的主导作用神奇的计算工具渗透数学思想，又要注重充分体现学生是学习的主人。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。应让学生积极参与数学学习活动，认识数学与人类生活的密切联系及作用。在教学活动中，我们需要做的首先是让孩子们愿意亲近数学，神奇的计算工具渗透数学思想了解数学，喜欢数学，从而主动地从事数学学习。通过知识动态化激发学生学习兴趣，体验探索乐趣，这会使学生对数学知识体系有更完善的了解，使课堂更鲜活生动，使学生的能力能更有效的提高。 一、巧设活动，事半功倍 心理学研究表明神奇的计算工具渗透数学思想：当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。在教学中，教师要结合教学内容尽可能地创设一些生动的教学情境，结合学生感兴趣并熟悉的事物，把生活中的数学生动地展现在课堂中，使学生眼中的数学不再是简单的数学，而是富有情感、具有活力的知识。教师简洁、清晰、富有感染力的导语及巧妙创设，会以最佳状态引领学生思维逐步深入。如：在教学数学课《小数点搬家》时，我在课堂教学中利用动画课件及小故事的配合，根据学生已有的知识经验和能力水平，巧妙地创设思维情景，使学生产生新奇感和求知欲望，从而激发学生的学习兴趣。再如：在《统计与概率》的教学中，我让学生去收集日常生活中的资料、数据，如家里的水、电、煤气费、电话费、一个月的收入、支出情况等等。由于数据都是同学们亲手收集日常生活的真实材料，所以他们对制作图表、分析图表都特别感兴趣，学习的容量自然远远超过书本，还培养了学生的参与意识，分析和解决实际问题的能力。因此，在教学过程中，巧妙的结合生活实例组织教学，可以促进学生全身心的投入到学习活动中去，起到事半功倍的作用。因为，兴趣是最好的老师，它是学生主动学习，积极思维的，勇于探索的强大的驱动力。二、促进自主，品尝成功 创设自主的课堂，能唤起探索与创造的快乐，激发认知兴趣和学习动机；能展现思路和方法，学会怎样学习；能帮助建构进取型的人格，通过“效能感”完善“自我”。学生由于先天的素质和后天所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，存在着差异。教师在遵循教育规律对学生进行教育的同时，必须打破以往按统一模式塑造学生的传统做法，关注每一个或每一类学生的特殊性，并在此基础上实施分层教学，采取分类辅导、设计层次练习，满足不同学生的学习需求，使每个学生得到充分的发展，使学生变被动接受为主动寻找，更利于理解新知，更利于进行自主学习，品尝到成功。教师要做的就是让具有不同思维特点的学生有机会表达自己的思想。学生对数学理解方式的差异，教师都应该鼓励，而不是采用一个模式，企图让所有的学生都按同一个模式去理解。在教学中，教师要及时放手，不追求思维的“统一化”和“最佳化”，而应当致力于“多样化”和“合理化”，使学生对知识的真正理解和个性化发展成为可能。为使学生自主探究知识，我常常发挥小组合作优势，放手让学生自主探究，在相互补充、相互启发、不断完善中，经历知识的产生和发展过程，品尝成功的喜悦，体验学习的快乐。从而，学生乐于主动参与到探索中去，也使不同的人学到了不同的数学，得到不同的发展。三、关注情感，激发热情 教师一环紧扣一环准确而恰当的导语，可使学生了解知识间内在联系的同时，体验到数学的严谨之美；通过数学语言表达和数学式子表达的对比和评价，使学生感受用字母表示规律意义的同时，体验到数学的简洁之美；如通过对《交换律》这一课的学习，可使学生体验到数学语言的形象之美。再如：在教学过程中，对九章算术、圆周率等史料的介绍，可让学生了解数学知识丰富的历史渊源，了解祖先的聪明智慧，增强民族自豪感。另外在实践活动中，可以组织学生玩并介绍九连环、华容道等智力游戏，引导学生探究九连环的规律和不同阵式华容道的解法。通过这些活动不仅可以激发学生的探索热情，发展学生的思维能力，还能陶冶学生的性情，使学生进一步感受数学的文化价值，受到深刻的人文教育。四、联系生活，激发兴趣。 生活是数学课堂的源头，让数学走近生活，走进学生的内心，才能激发他们的学习兴趣。只有让学生热爱数学，才能使他们在学习过程中充分发挥自己的内在潜能，使数学成为开启学生智慧的一把钥匙。 教师把现实生活中，蕴含的大量数学信息引入课堂，引导学生进行观察、实验、归纳、类比、推理、合理猜测、寻求证据、做出证明、举出反例，进行社会调查，开展小组讨论，鼓励不同的见解等等。那么，学生在数学课上得到的就不仅仅是知识，对学习材料的兴趣使得他们乐于参与到探索中去，从而有了亲身体验知识发生和发展过程的经历。如：学习了“神奇的计算工具”后，使学生体会到数学并不是远离生活实际，纯粹抽象的另外一个世界的东西，数学是我们身边的无处不在的，是我们可以看得见，摸的着的。我们今天虽然是利用计算器计算，但之前也经历了漫长的探索过程，古人最初计算时是用石子或结绳的方法，后来用到了算筹、算盘等计算工具，直到现在用了计算机,学生会体验到这个发展过程融合了多少先人的聪明才智，汇集了多少先人的辛勤劳动，我们也应时时处处留心生活中的知识，做生活的有心人。 从“课内向课外延伸，课外向课内汇集”这样一个动态活动中，教师要引导学生仔细观察生活，从中寻找相关的数学问题，使数学课堂在生活中得到延续和拓展，这样学生的数学能力会更能得到培养和发展。总之，新课程改革，使小学数学课堂教学走上了“活动化、自主化、情感化、生活化”的道路。铸造新一代创造人才，是时代赋予我们的天职，任重而道远，如果我们坚持不懈的努力，善于发掘、开拓、创新，促使学生大胆探索，不断进取，一定能够探索出一条实实在在的教改之路神奇的计算工具渗透数学思想！

计算机出现之前，有哪些神奇的计算工具？

今天对财务管理课程的学习，真的是感受到了学习是多么多么开心的一件事情，今天的课程，让我了解到了计算器功能的强大。普通计算器、科学计算器以及金融计算器他们有着各自特殊的功能和作用。同时也为自己多年使用计算器从未发现其中的奥妙而感到悲哀，但也为发明计算机的这个人的聪明而骄傲，计算器的发明，最终给我们带来了方便，而且希望今后我们都可以好好充分利用我们手里的工具。

心里在想，谁发明的计算器呀，真的是太有才啦。继而我进行了百科：

计算器是最早的计算工具，例如：奇普（Quipu或khipu）是古代印加人的一种结绳记事的方法，用来计数或者记录历史。它是由许多颜色的绳结编成的。

筹策

还有古希腊人的安提凯希拉装置，中国的算盘等。中国古代最早采用的一种计算工具叫筹策，又被叫做算筹。这种算筹多用竹子制成，也有用木头，兽骨充当材料的。约二百七十枚一束，放在布袋里可随身携带。直到今天仍在使用的珠算盘，是中国古代计算工具领域中的另一项发明，明代时的珠算盘已经与现代的珠算盘几乎相同。

早期的计算器为纯手动式，如算盘、算筹等。算盘通常是以滑动的珠子制成。在西方，算盘在印度阿拉伯数字流行前使用了数个世纪，且在近代中国的记帐与商务上仍广泛使用。后来出现机械计算器。17世纪初，西方国家的计算工具有了较大的发展，英国数学家纳皮尔发明的"纳皮尔算筹"，英国牧师奥却德发明了计圆柱型对数算尺，这种计算尺不仅能做加减乘除、乘方、开方运算，甚至可以计算三角函数，指数函数和对数函数，这些计算工具不仅带动了计算器的发展，也为现代计算器发展奠定了良好的基础，成为现代社会应用广泛的计算工具。

1642年，年仅19岁的法国伟大科学家帕斯卡（Pascaline）发明了第一部机械式计算器，在他的计算器中有一些互相联锁的齿轮，一个转过十位的齿轮会使另一个齿轮转过一位，人们可以像拨电话号码盘那样，把数字拨进去，计算结果就会出现在另一个窗口中，但是只能做加减计算。1694年，莱布尼兹（Leibniz）在德国将其改进成可以进行乘除的计算。此后，一直要到20世纪50年代末才有电子计算器的出现。

19世纪，巴贝奇将计算工具的概念更往前推，试图创建第一个可编程式计算器，但他建造的机器太重了，因而无法操作。

20世纪，20世纪70年代开始，微处理器技术被吸纳进计算器制程，最初的微处理器是Intel于1971年为日本名为Busicom（）的计算器公司生产的，1972年惠普推出第一款掌上科学计算器HP-35。